Ein Konzept für

Eine Erfindung von Charles Babbage

von Luigi F. MENABREA
Turin, Offizier und Militär-Ingenieur

aus der Bibliothèque Universelle de Genève, Oktober 1842, Nr. 82

Mit Notizen aus der Denkschrift der Übersetzerin
ADA AUGUSTA, HERZOGIN VON LOVELACE

Deutsche Übersetzung von Jürgen Buchmüller

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Nun wird verständlich, wie das Prinzip der zuvor beschriebenen Entwicklung ganz allgemein für jede Art von Vorgang angewandt werden kann, der sich als eine Abfolge solcher Berechnungen darstellen lässt. Es genügt, dass die Gesetzmäßigkeiten zur Bildung der Koeffizienten bekannt sind und dass diese Gesetzmäßigkeiten mittels Karten der Maschine eingegeben werden, welche sodann alle notwendigen Berechnungen selbständig durchführen und das gesuchte Ergebnis errechnen wird. Wenn beispielsweise eine periodische Folge vorliegt, deren Koeffizienten alle gleichförmig aufgebaut sind, dann können die Operationen für einen der Koeffizienten für alle anderen wiederholt werden. Es wird lediglich eine Veränderung in den von der Operation betroffenen Stellen geben. Anders gesagt werden die Operationen mit wechselnden Spalten ausgeführt. Da ganz allgemein jeder analytische Ausdruck dazu geeignet ist, durch eine geordnete Serie von bestimmten Funktionen der Variablen dargestellt zu werden, verstehen wir auch, warum die Maschine zu all den analytischen Berechnungen fähig ist, deren Gleichungen zu einer durch bestimmte Gesetzmäßigkeiten vorgegebenen Anordnung und Verteilung von Koeffizienten auf die Variablen umgeformt werden können.

Wir können aus diesen Erklärungen nun die folgende wichtige Konsequenz herleiten, dass diese Karten, die lediglich die Natur der auszuführenden Operationen und die Spalten der in der Berechnung zu nutzenden Variablen beschreiben, in sich selbst die generelle Anwendbarkeit der Analysis bergen, für die sie in der Tat nichts weiter als eine Übersetzung darstellen. Wir wollen nun weiterhin einige der Schwierigkeiten untersuchen, welche die Maschine auflösen muss, falls sie den komplette Bereich der Analysis umfassen soll. Es existieren bestimmte Funktionen, die im Nulldurchgang oder im Unendlichen ihre Natur verändern oder deren Werte für den Durchgang durch diese Grenzen nicht angebbar sind. Wenn solche Fälle eintreten, kann die Maschine mit Hilfe einer Glocke ein Signal geben, dass ein solcher Durchgang durch Null oder Unendlich stattfindet und anhalten, bis der Betreiber eine andere Aufgabe eingestellt hat und sie wieder in Betrieb setzt. Wenn dieser Prozess vorauszusehen war, kann die Maschine statt zu läuten sich auch selbst so neu einstellen, dass eine neue Folge von Karten für den Fall vorgelegt wird, dass ein Durchgang durch Null oder Unendlich erfolgt. Diese neuen Karten können den vorherigen direkt folgen, werden aber nur dann ins Spiel gebracht, falls der eine oder der andere der beiden vorgenannten Fälle eintritt.

Lassen Sie uns einen Term der Form abⁿ annehmen. Da die Karten nichts als eine Übersetzung der analytischen Formel darstellen, muss ihre Anzahl in diesem speziellen Fall für jeden beliebigen Wert von n gleich bleiben (wir nehmen für den Moment an, dass n eine ganze Zahl ist). Anders gesagt ist n die Anzahl der Multiplikationen, die notwendig ist, um b zur n. Potenz zu erheben. Der Exponent n bezeichnet also, dass b genau n mal mit sich selbst multipliziert werden muss und da all diese Operationen von der gleichen Art sind genügt es, eine einzelne Operations-Karte dafür einzusetzen, welche die Multiplikation festlegt.

Wenn aber n in diesem speziellen Fall berechnet werden soll, muss die Maschine als weitere Einschränkung die Anzahl der Multiplikationen entsprechend der vorgegebenen Werte begrenzen. Der Vorgang könnte in folgender Weise angelegt werden. Die drei Zahlen a, b und n werden in drei verschiedene Spalten des Speichers eingetragen, die wir mit V₀, V₁, V₂ bezeichnen wollen. Das Ergebnis abⁿ selbst soll in der Spalte V₃ erscheinen. Nachdem die Zahl n der Maschine eingegeben wurde, wird eine Karte eine spezielle Register-Vorrichtung veranlassen, (n-1) anzuzeigen und zur selben Zeit die Multiplikation von b mal b ausführen. Wenn diese Multiplikation beendet ist, wird die Register-Vorrichtung eine Einheit subtrahiert haben und nun nur noch (n-2) anzeigen, während die Maschine wiederum die Zahl b aus der Spalte V₁ mit dem Produkt b² in der Spalte V₃ multiplizieren wird, was sodann b³ ergibt. Eine weitere Einheit wird von Register-Vorrichtung subtrahiert und derselbe Prozess wird fortwährend wiederholt, bis die Anzeige Null erreicht ist. Es wird folglich die Zahl bⁿ in der Spalte V₃ eingetragen sein, wenn die Maschine im weiteren Ablauf der Operationen das Produkt von bⁿ und a anfordert. Die gewünschte Berechnung wird also ausgeführt, ohne dass die Anzahl der Operations-Karten abhängig vom Wert von n variiert werden muss. Wenn n negativ wäre, würden die Karten statt der Multiplikation von a mit bⁿ die Division von a durch bⁿ anfordern. Wir können dies leicht nachvollziehen, da jede Zahl mit ihrem zugehörigen Vorzeichen eingetragen ist und folglich Einfluss auf die Art der auszuführenden Operation nehmen kann. Schließlich ist für den Fall, dass n ein Bruch der Form p/q ist, eine weitere Spalte für die Eintragung des Wertes von q notwendig und die Maschine würde zwei Gruppen von Abläufen ausführen: den ersten, um b zur Potenz p zu erheben und den zweiten, um die q. Wurzel aus der so erhaltenen Zahl zu ziehen.

In einem weiteren Beispiel könnte es notwendig werden, einen Ausdruck der Form ax ^m+bx ⁿ mit einem zweiten der Form Ax ^p+Bx ^q zu multiplizieren und das Produkt auf die kleinste Anzahl von Termen mit gleichen Indizes zu reduzieren. Wenn beide Faktoren nach x sortiert werden, dann wäre das in allgemeiner Form dargestellte Ergebnis der Multiplikation gleich Aax ^m+p+Abx ^n+p+Bax ^m+q+Bbx ^n+q. Bis zu diesem Punkt liegt in dem Vorgehen keine besondere Schwierigkeit, aber nehmen wir nun einmal an, dass wir m=p und n=q haben und dass wir die beiden mittleren Terme zu einem einzigen (Ab+Ba)x ^m+q zusammenziehen wollen. Für diesen Zweck könnten die Karten angeben, dass m+q und n+p in die Mühle übertragen und dort voneinander subtrahiert werden sollen. Wenn kein Rest bleibt, wie im Falle der aktuellen Annahme, dann wird die Mühle durch die nächsten Karten aufgefordert, die beiden Koeffizienten Ab und Ba zu addieren und sie in diesem Stadium als Koeffizienten für den einzigen Term x ^n+p=x ^m+q zu verwenden.

Dieses Beispiel legt nahe, wie die Karten all die Operationen wiedergeben können, die auch ein Intellekt ausführt, um ein bestimmtes Ergebnis zu erreichen, wenn nur die Operationen selbst präzise genug definiert werden können.

Lassen Sie uns nun den folgenden Ausdruck untersuchen: —

der, wie wir wissen, gleich dem Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises wird, wenn n unendlich wird. Wir können die Maschine auffordern, nicht nur die Berechnung dieser Bruchdarstellung durchzuführen, sondern auch anzuzeigen, wann der Wert gleich dem Verhältnis von Umfang zu Durchmesser wird, also dem nicht berechenbaren Fall, wenn n gegen Unendlich geht. Beachten Sie hierbei, dass wir die Maschine somit auffordern, ein ihr selbst unbekanntes und unzugängliches Ergebnis zu interpretieren, da sie ja kein denkendes Wesen ist. Trotzdem könnte, wenn wir den Kosinus von n=1/0 vorhergesehen haben, eine Karte die Einsetzung des bekannten Wertes von ( ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser) festlegen, ohne dass die unendliche Abfolge von Berechnungen ausgeführt würde. Dies zu erreichen würde lediglich voraussetzen, dass die Maschine eine spezielle Karte enthalten kann, deren Aufgabe es ist die Zahl in direkter und unabhängiger Weise in einer Spalte zu platzieren, die auf der Karte angegeben ist. An dieser Stelle wollen wir nun eine dritte Art von Karten einführen, die wir Zahlen-Karten nennen können. Es gibt bestimmte Zahlen, so wie jene, die das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser beschreibt, wie die Bernoulli-Zahlen &c., die häufiger in Berechnungen vorkommen werden. Um die Notwendigkeit einer bei jeder Verwendung neuerlichen Berechnung dieser Zahlen zu vermeiden, können bestimmte Karten kombiniert werden, die solche vorgefertigten Zahlen in die Mühle eingeben, von wo sie hernach in den für sie bestimmten Spalten des Speichers platziert werden. Durch diese Möglichkeit wird die Maschine zugänglich für Vereinfachungen in der Art einer Anwendung von numerischen Tabellen. Genauso wäre es mit Hilfe dieser Karten möglich, die Logarithmen von Zahlen einzuführen, aber vielleicht wäre das im Falle der Logarithmen nicht die kürzeste oder passendste Methode, da die Maschine in der Lage sein könnte, die Berechnungen in viel rascheren Kombinationen auszuführen, die sie auf Grund ihrer Geschwindigkeit bei der Ausführung der vier Grundrechenarten erreicht. Um einen Eindruck von dieser Geschwindigkeit zu vermitteln, müssen wir nur erwähnen, dass Mr. Babbage angibt mit seiner Maschine innerhalb von drei Minuten die Multiplikation zweier Zahlen mit je zwanzig Ziffern ausführen zu können.

Vielleicht erscheint Ihnen die für die Berechnung einiger eher komplizierter Probleme notwendig werdende immense Anzahl von Karten als eine Hürde, aber dieser Schein trügt. Es gibt keine Grenze für die Anzahl an Karten, die eingesetzt werden können. Bestimmte Stoffe benötigen für ihre Herstellung mehr als zwanzigtausend Karten und wir können selbst diese Menge fraglos noch weit überschreiten.

In einer Zusammenfassung dessen, was wir über die Funktion der Analytischen Maschine erläuterten, können wir nun abschließend sagen, dass sie auf zwei Prinzipien basiert: erstens auf dem Faktum, dass jede arithmetische Berechnung im Endeffekt auf den vier Grundrechenarten — Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division — beruht, sowie auf der zweitens bestehenden Möglichkeit, jede analytische Berechnung in eine zur Ermittlung der Koeffizienten für mehrere Terme einer bestimmten Folge notwendige Rechnung um zu formen. Wenn dieses zweite Prinzip gilt, dann liegen alle Operationen der Analysis innerhalb der Fähigkeiten der Maschine. Aus einem anderen Blickwinkel gesehen ermöglichen die Karten eine so allgemeine Anwendbarkeit der Maschine, die der von algebraischen Formeln entspricht, da solche Formeln schlicht die Art und Anordnung der Operationen vorgeben, die zum Erreichen eines bestimmten Ergebnisses notwendig sind und da die Karten der Maschine lediglich genau solche Operationen vorgeben. Einzig die numerischen Daten eines konkreten Problems müssen im Einzelfall eingegeben werden, damit die Mechanismen für jede beliebige Aufgabe danach in Aktion treten können. Daher kann man dieselbe Folge von Karten für all die Fragen, deren gleichartige Natur nichts weiter als geänderte numerische Daten erfordert, wiederholt einsetzen. In diesem Lichte betrachtet stellen die Karten nicht mehr als eine Übersetzung der algebraischen Formeln dar oder, um es besser zu formulieren, eine neue Form der analytischen Notation.

Da die Maschine eine Betriebsart hat, in der sie in besonderer Weise auf sich selbst reagiert, wird es in jedem Einzelfall notwendig sein, die Abfolge der Berechnungen so anzuordnen, dass sie sich an den Fähigkeiten der Maschine orientiert. Dieser oder jener Prozess mag für einen menschlichen Rechner zwar sehr leicht, für die Maschine aber langwierig und kompliziert sein oder auch vice versâ.

Da in allgemeinster Betrachtungsweise die wesentliche Aufgabe der Maschine darin liegt, vorgegebenen Gesetzen folgende Berechnungen von numerischen Koeffizienten durchzuführen und diese dann auf die passenden Spalten der Variablen zu verteilen, folgt daraus, dass die Interpretation der Formeln und der Ergebnisse jenseits ihrer Möglichkeiten liegt, es sei denn, dass eine solche Interpretation selbst vermittels Gleichungen in den von der Maschine angewandten Symbolen möglich wäre. So ist die Maschine zwar nicht ein denkendes Wesen, aber doch ein Wesen, das intelligente Konzept durchführen kann. Die Karten sind Ausdruck dieser Konzepte und übertragen die zur Umsetzung notwendigen Aufträge an die verschiedenen Verkettungen von Mechanismen, die diese Maschine ausmachen. Wenn diese Maschine einmal konstruiert sein wird, besteht die verbleibende Schwierigkeit darin, die notwendigen Karten zu erstellen. Da diese aber lediglich Übersetzungen von algebraischen Formeln sind, wird es durch eine einfache Notation möglich sein, diese Aufgabe einem Arbeiter zu übertragen. Die gesamte intellektuelle Arbeit wird sich auf die Vorbereitung der Formeln beschränken, die für eine Berechnung durch die Maschine angepasst werden müssen.

Wenn wir nun zugeben, dass eine solche Maschine konstruiert werden kann, dann können wir fragen: Wozu wird sie dienen? Wir rekapitulieren noch einmal die Vorzüge. Erstens: perfekte Korrektheit. Wir wissen, dass numerische Berechnungen generell den Stolperstein bei der Lösung von Problemen darstellen, da sich leicht Fehler einschleichen und es bei weitem nicht immer leicht ist, diese Fehler hernach aufzudecken. Die Maschine aber bietet durch ihre besondere Natur des Abarbeitens von Operationen, ohne die Notwendigkeit von menschlichem Eingreifen, jede Voraussetzung für Korrektheit. Zusätzlich enthält sie eine eigene Überprüfung, da sie am Ende jeder Operation nicht nur die Ergebnisse, sondern ebenso die numerischen Daten der Fragestellung ausgibt, was eine Überprüfung der Korrektheit der gestellten Frage einfach macht. Zweitens: die Zeitersparnis. Um uns selbst davon zu überzeugen, brauchen wir uns nur zu erinnern, dass die Multiplikation zweier Zahlen, bestehend aus je zwanzig Ziffern, längstens drei Minuten benötigt. Weiterhin kann die Maschine, wenn sie eine längere Folge von identischen Berechnungen ausführen soll, wie sie für die Erstellung von numerischen Tabellen benötigt wird, dazu gebracht werden, mehrere Ergebnisse zur selben Zeit zu liefern, was die Anzahl der Vorgänge insgesamt deutlich verkürzen wird. Drittens: Intelligenz-Optimierung. Schon für eine einfache arithmetische Berechnung muss die durchführende Person einige Fähigkeiten besitzen und wenn wir zu komplizierteren Berechnungen übergehen und algebraische Formeln in speziellen Fällen nutzen wollen, setzt dies mathematische Studien zur Aneignung von Wissen in bestimmtem Umfang voraus. Die Maschine aber, mit ihrer Fähigkeit all diese rein mechanischen Operationen durchzuführen, erspart diese intellektuelle Arbeit, die daher profitabler eingesetzt werden kann. Die Maschine kann als eine regelrechte Ziffernfabrik angesehen werden, die ihre Hilfe den vielen nützlichen Wissenschaften und Künsten offeriert, welche von Zahlen abhängig sind. Wer aber kann die Konsequenzen einer solchen Erfindung wirklich voraussehen? In Wahrheit mag es viele wunderbare Beobachtungen für den Fortschritt der Wissenschaften geben, die wegen der fehlenden Leistung zur Berechnung von Ergebnissen praktisch blockiert sind! Und bedenken wir, welche Entmutigung die Aussicht auf eine langwierige und trockene Berechnung für einen genialen Geist bedeutet, der seine Zeit ausschließlich mit Nachdenken verbringen will und sie stattdessen von der Notwendigkeit zu routinemäßigen Operationen gestohlen sieht! Doch nur durch den arbeitsreichen Weg der Analysis kann er die Wahrheit finden. Er kann sie nur durch die Führung der Zahlen verfolgen, weil wir ohne die Zahlen den Schleier, der die Mysterien der Natur verdeckt, nicht lüften können. Die Realisierung der Idee der Konstruktion einer solchen Apparatur, welche menschliche Schwächen in diesem Forschungsbereich ausgleicht, würde eine glorreiche Epoche in der Geschichte der Wissenschaften einläuten. Die Pläne für all die verschiedenen Teile und für all die Räderwerke, die diese immense Apparatur ausmachen, sind ausgearbeitet und ihre Abläufe sind untersucht, aber sie sind noch nicht vollständig in den Zeichnungen und in der mechanischen Beschreibung zusammengefasst. Die Zuversicht, welche die Genialität von Mr. Babbage auslösen muss, bietet hinreichend Grund für die Hoffnung, dass diese Unternehmung von Erfolg gekrönt sein wird und sie bietet Anlass dafür, die Sehnsucht nach der Umsetzung dieses Projektes zu nähren, während wir der sie ausführenden Intelligenz unsere Huldigung versichern.

Ada Augusta, Herzogin von Lovelace

Die spezielle Funktion, deren Integral zu errechnen die Differenzmaschine konstruiert wurde, ist:

Der Zweck, für den die Maschine ausdrücklich erdacht und den zu erreichen sie angepasst wurde, war die Berechnung von nautischen und astronomischen Tabellen. Das Integral von

ist	uz = a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+gx6,

wobei die Konstanten a, b, c, &c. auf den sieben Spalten der Scheiben, aus denen die Maschine besteht, eingestellt werden. Die Maschine kann daher akkurat und unbegrenzt alle Reihen berechnen, deren genereller Term in der obigen Formel enthalten ist. Sie kann ferner näherungsweise zwischen größeren oder kleineren Intervallen bei solchen Reihen tabellieren, die der Methode der Differenzen zugänglich sind.

Im Gegensatz dazu ist die Analytische Maschine nicht bloß für das Tabellieren der Ergebnisse einer einzigen, speziellen Funktion ausgelegt, sondern vielmehr für die Entwicklung und Tabellierung beliebiger Funktionen. Die Maschine könnte tatsächlich als die manifestierte Umsetzung einer beliebigen Funktion jedweden Grades von Generalität und Komplexität beschrieben werden, so wie zum Beispiel

was, wie wir sehen werden, eine Funktion aller möglichen anderen Funktionen von beliebigen Größen ist.

In einem bestimmten Zustand der Maschine, den wir den neutralen oder den Null-Zustand nennen können, ist sie bereit, durch die Vorgabe von Karten, die einen Teil ihres Mechanismus ausmachen (und die dem Prinzip der Karten des Jacquard-Webstuhls entsprechen), die speziellen Funktionen, die wir entwickeln oder tabellieren wollen, entgegen zu nehmen. Diese Karten enthalten (in einer Weise, die im Memorandum selbst erklärt ist) die Gesetzmäßigkeiten zur Entwicklung einer bestimmten Funktion, die untersucht werden kann und sie veranlassen den Mechanismus dazu, in einer bestimmten, korrespondierenden Reihenfolge zu agieren. Einer der einfachsten Fälle wäre zum Beispiel anzunehmen, dass

die spezielle Funktion sei:

welche die Differenzmaschine nur für Werte von n bis zu 7 tabelliert. Im hier vorliegenden Fall würden die Karten den Mechanismus veranlassen, folgende Sequenz von Operationen zu tabellieren

in der n jede beliebige Zahl sein kann.

Die Karten haben aber noch nichts mit der Festlegung der spezifischen numerischen Daten zu tun. Sie bestimmen lediglich die zu bewirkenden Operationen, die selbstverständlich auf eine unendliche Vielfalt von speziellen numerischen Werten angewandt werden können, die aber selbst keine definierten numerischen Ergebnisse liefern, bis die numerischen Daten des Problems in die entsprechenden Abteilungen des Mechanismus eingegeben wurden. Im obigen Beispiel wäre der erste, wesentliche Schritt zu einem arithmetischen Ergebnis das Ersetzen der spezifischen Werte für n, sowie für die weiteren Grundwerte, die in die Funktion eingehen.

Lassen Sie uns nun annehmen, dass wir für F zwei komplette Gleichungen vierten Grades zwischen x und y vorgeben. Wir müssen auf den Karten nun die Regeln für die Eliminierung in solchen Gleichungen ausdrücken. Die Maschine würde diesen Regeln nachfolgen und am Ende das Ergebnis der Gleichung für eine Variable ausgeben, wie sie sich aus einer solchen Eliminierung ergibt. Verschiedene Modi der Eliminierung könnten ausgewählt werden und natürlich müssten entsprechende Karten erstellt werden. Der im Folgenden beschriebene Modus ist eine der Möglichkeiten. Die Maschine kann zwei beliebige Funktionen miteinander multiplizieren, wenn sie in folgender Form vorliegen:

Dann nämlich können die beiden Gleichungen nach den Potenzen von y angeordnet werden und die Koeffizienten der Potenzen von y sodann nach den Potenzen von x. Die Eliminierung von y ergibt sich aus den aufeinander folgenden Multiplikationen und Subtraktionen mehrerer solcher Funktionen. In diesem Beispiel, wie auch in allen zuvor beschriebenen entsprechenden Fällen, werden die konkreten numerischen Daten und die numerischen Ergebnisse von einigen Teilen und Vorrichtungen des Mechanismus ermittelt, die weitgehend unabhängig von dem Teil sind, welcher die Operationen festlegt.

Beim Studium der Funktionsweise der Analytischen Maschine sehen wir, dass die besondere und unabhängige Natur der Denkweise, mit der in der mathematischen Analysis die Operationen getrennt sind von den von Operationen betroffenen Objekten sowie den Ergebnissen, welche durch diese Operationen erreicht werden, sich bei der Maschine auffallend deutlich und abgetrennt wiederfindet.

Die Aufmerksamkeit auf diesen Punkt zu lenken ist nicht nur deshalb angemessen, weil seine volle Würdigung essenziell für jedes gerechte und angemessene Gesamtverständnis der Leistungen und Betriebsarten der Analytischen Maschine ist, sondern auch deshalb, weil ihm vielleicht generell zu wenig Beachtung beim Studium der mathematischen Wissenschaften geschenkt wird. Er ist andererseits nicht zu verwechseln mit anderen Betrachtungen, die wir beim Verfolgen der Art und Weise anstellen, in der die Maschine ihre Ergebnisse erzielt, oder die bei der Vorbereitung der Daten zur Erlangung dieser Ergebnisse notwendig werden. Es wäre sehr wünschenswert, dass wenn mathematische Prozesse durch den menschlichen Verstand, statt durch das Medium eines toten Mechanismus liefen, es von gleicher Wichtigkeit für diese Dinge wäre, den Schlussfolgerungen im Bezug auf Operationen einen ebenso angemessenen und wohldefinierten Zweig im Gerüst der Analysis einzuräumen, einer fundamentalen und dennoch unabhängigen Zutat der Wissenschaften, die sie beim Studium der Maschine innehaben müssen. Die Verwirrungen, die Schwierigkeiten und die Widersprüche, die als Folge erwünschter klarer Unterscheidungen in diesen Dingen passieren, sind bis vor kürzerer Zeit noch in all den mathematisch belasteten Bereichen aufgetreten, welche negative und unmögliche Größen berücksichtigen. Dies wird auch dem wenig in dieser Wissenschaft bewanderten Leser schnell klar sein und würde allein schon als Grund dafür genügen, diesem Punkt seinen Raum in Verbindung mit einer so passenden Gelegenheit einzuräumen, wie sie notwendigerweise bei der Beschreibung der Analytischen Maschine gegeben ist. Es mag wünschenswert sein zu erläutern, dass wir mit dem Wort Operation hier jeden Prozess meinen, der die wechselseitige Beziehung von zwei oder mehr Dingen betrifft, welcher Art auch immer diese Beziehungen sein mögen. Dies ist die allgemeinste Definition und sie würde alle Dinge des Universums einschließen. In der abstrakten Mathematik verändern Operationen selbstverständlich die konkreten Beziehungen, die bei den Betrachtungen von Zahlen und Räumen beteiligt sind und die Ergebnisse der Operationen sind die speziellen Ergebnisse, die mit der Natur der Subjekte der Operationen korrespondieren. Die Wissenschaft der Operationen jedoch, wie sie speziell von der Mathematik abgeleitet werden, ist eine eigenständige Wissenschaft und sie hat ihre eigenen abstrakten Wahrheiten und Werte; genau so wie die Logik ihre eigenen Wahrheiten und Werte besitzt, ganz unabhängig von den Subjekten, auf welche wir ihre Erkenntnisse und Regeln anwenden mögen. Diejenigen unter Ihnen, die mit einigen der moderneren Ansichten des oben angesprochenen Themas vertraut sind, werden wissen, dass wenn einige fundamentale Beziehungen wahr sind, daraus andere Kombinationen von Beziehungen notwendigerweise folgen müssen; diese Kombinationen sind unbegrenzt in ihrer Vielfalt und Reichweite, wenn die Herleitungen aus den primären Beziehungen nur weit genug fortgeführt werden. Denjenigen wird ebenso bewusst sein, dass einer der Hauptgründe dafür, dass die unabhängige Natur der Wissenschaft der Operationen kaum wahrgenommen wurde und dass ihr allgemein zu wenig Raum gegeben wurde, in der Verschiebung der Bedeutung vieler der in der mathematischen Notation benutzten Symbole liegt. Zunächst sind die Symbole für Operationen oftmals ebenfalls die Symbole für die Ergebnisse der Operationen. Wir könnten sagen, dass diese Symbole geeignet sind, sowohl retrospektive, wie auch ein prospektive Signifikanz zu zeigen. Sie können entweder Beziehungen bezeichnen, die die Folge einer Reihe von bereits ausgeführten Prozessen sind, oder sie bezeichnen Beziehungen, die noch durch bestimmte Prozesse erwirkt werden sollen. Zweitens sind Ziffern, die Symbole der numerischen Größe, oftmals ebenfalls Symbole für Operationen, wenn sie beispielsweise als Indizes für die Potenzen auftreten. Wann immer Begriffe eine wechselnde Bedeutung haben, sind unabhängige Gruppen von Betrachtungsweisen für eine Komplizierung verantwortlich und Beweisführungen sowie Ergebnisse werden oft verfälscht. In der Analytischen Maschine werden nun die Operationen, die unter die erste der oben erwähnten Überschriften fallen, durch eine eigene Notation exklusiv einer für sie zuständigen Abteilung des Mechanismus zugewiesen und dort kombiniert. Im Bezug auf die zweite Überschrift werden Zahlen, wann immer sie Operationen und nicht Größen bezeichnen (so wie die Indizes von Potenzen) auf einer beliebigen Spalte oder auf einer Gruppe von Spalten eingetragen, die Spalten agieren direkt und in gänzlich separater und unabhängiger Weise und sie werden ausschließlich mit dem Operationsmechanismus verbunden und reagieren nur auf diesen. Sie treten niemals in einer Kombination mit einer eine Größe bezeichnenden Zahle aus irgendeiner anderen Spalte auf. Außer natürlich in dem Fall, wenn es sich um Zahlen bei Operationen mit n Spalten handelt, wo diese miteinander kombiniert werden und dies wird oftmals so notwendig sein, genauso wie Größen bezeichnende Zahlen miteinander in jeder Weise kombiniert werden können. Die Ausführung der Maschine hätte so angelegt werden können, dass alle Zahlen, deren Bedeutung eine Operation ist, in einem ganz anderen Bereich der Maschine erschienen wären wie die Zahle, die eine Größe bezeichnen, aber der gegenwärtige Aufbau ist in einigen Fällen einfacher und bietet in der Praxis eben so viel Unterscheidbarkeit, wenn er verstanden wurde.

Der Operationsmechanismus kann sogar unabhängig von jeglichen Objekten, die zu bearbeiten wären, in Gang gesetzt werden (obwohl er dann natürlich kein Ergebnis entwickeln kann). Er könnte ebenso mit ganz anderen Dingen als Zahlen arbeiten, wenn man Objekte finden würden, deren grundlegende gegenseitige Beziehungen durch die abstrakte Wissenschaft der Operationen darstellbar wären und die gleichzeitig empfänglich für abgewandelte Aktionen in der Notation der Operationen und des Mechanismus der Maschine wären. Wenn beispielsweise die fundamentalen Beziehungen der Tonhöhen in der Wissenschaft der Harmonie und der musikalischen Komposition solchen Ausdrücken und Adaptionen zugänglich wären, so könnte die Maschine ausgefeilte und wissenschaftlich fundierte Musikstücke jedweder Komplexität und Länge komponieren.

Die Analytische Maschine ist eine Verkörperung der Wissenschaft der Operationen mit einer besonderen Referenz zu den abstrakten Zahlen als Subjekte dieser Operationen. Die Differenzmaschine ist die Verkörperung einer speziellen Auswahl mit einer sehr beschränkten Zahl von Operationen, die (s.a. die in Notiz B genutzte Notation) somit als (+,+,+,+,+,+) oder auch 6(+) ausgedrückt werden könnte. Sechs Wiederholungen der einen Operation, +, sind tatsächlich die Summe der Funktionalität dieser Maschine. Sie hat sieben Spalten und eine Zahl in irgendeiner der Spalten kann sich selbst zur Zahl der rechts danebenliegenden Spalte addieren. Beginnend mit der am weitesten links liegenden Spalte können so sechs Additionen ausgeführt werden und das Ergebnis erscheint in der siebten Spalte, welche die letzte auf der rechten Seite ist. Der arbeitende Mechanismus dieser Maschine agiert dabei in genauso separater und unabhängiger Weise, wie der der Analytischen Maschine. Da er aber lediglich eine einzige unveränderliche und beschränkte Kombination unterstützt, gibt er wenig Anlass oder Gelegenheit für eine Beschreibung der Unterschiede von Operationen in der Wissenschaft der Operationen. Die Notwendigkeit, die Analytische Maschine von diesem Standpunkt aus zu betrachten wird, wie wir meinen, dem Leser mehr und mehr offenbar werden, wenn er L. M. Menabreas klaren und meisterlichen Artikel weiter verfolgt. Der Kalkulus der Operationen ist gleichsam in sich selbst ein so interessantes Thema und wurde in den letzten Jahren so viel häufiger beschrieben und bedacht als zuvor, dass jede Möglichkeit, die diese Maschine mit ihren Betriebsarten zur Erläuterung dieses Zweiges der mathematischen Wissenschaften bieten kann, nicht übersehen werden sollte. Ob der Erfinder der Maschine auch nur einige dieser Ansichten im Sinn hatte, während er die Erfindung ausarbeitete, oder ob er sie nach dieser Phase je in Betracht zog, das wissen wir nicht. Die Ansichten erschienen uns jedoch zwangsläufig bei zunehmender Vertrautheit mit den Methoden, durch welche die analytischen Kombinationen dieses Mechanismus in der Praxis erreicht werden. Wir können nicht umhin, ein praktisches Ergebnis vorzuschlagen, das uns durch die unabhängige Art, mit der die Maschine ihre Operationen anordnet und kombiniert, wesentlich erleichtert erscheint: wir möchten die Art von Kombinationen andeuten, in die imaginäre Größen Einzug halten. Wir hatten keine Gelegenheit, zu diesem Bereich von Abläufen in der Maschine weitere Nachforschungen anzustellen und unsere Annahme ist sehr wahrscheinlich nicht übereinstimmend mit den Fakten, da das Prinzip, auf denen sie nach unserer Einschätzung beruhen könnte, weniger nützlich als einige andere Prinzipien sein könnte oder doch wenigstens die Mitwirkung anderer Prinzipien erfordern würde. Es erscheint uns aber nichtsdestotrotz offensichtlich, dass es, mit Hilfe einiger einfacher Maßnahmen und durch Erweiterungen im Aufbau des Mechanismus, leicht sein müsste, eine doppelte Gruppe von Ergebnissen auszugeben, so dass wir: Erstens die numerischen Größen als Ergebnis der Operationen mit numerischen Daten erhalten (solche Resultate sind die primäre Aufgabe der Maschine) und zweitens symbolische Resultate, die an den numerischen Resultaten angehängt wären, wobei diese symbolischen Resultate nicht weniger die notwendigen und logischen Konsequenzen von Operationen mit symbolischen Daten sind, wie die numerischen Resultate solche der numerischen Daten.

Wenn wir die Leistungen und die Konstruktionsprinzipien der Differenzmaschine und der Analytischen Maschine miteinander vergleichen, dann werden wir sehen, dass die Möglichkeiten letzterer unmessbar viel weitgehender als die ersterer sind und dass sie tatsächlich zueinander in demselben Verhältnis stehen, wie die Analysis zur Arithmetik. Die Differenzmaschine kann nur eine einzige Abfolge von Operationen bewirken, nämlich die zur Tabellierung des Integrals der speziellen Funktion

und da sie dies nur für Werte von n bis zu 7 ermöglicht, kann sie schon nicht als allgemeinste Umsetzung für auch nur eine spezielle Funktion angesehen werden und erst recht nicht als Umsetzung jeder beliebigen Funktion jeglichen beliebigen Grades. Die Differenzmaschine kann tatsächlich (wie bereits teilweise erläutert wurde) nichts weiter als addieren und jeder andere Vorgang, wie eine simple Subtraktion, Multiplikation oder Division, kann von ihr nur in dem Umfang ausgeführt werden, in dem es möglich ist, den Vorgang auf eine Folge von Additionen zu reduzieren. Die Methode der Differenzen ist tatsächlich eine Methode der Additionen und da sie einfach durch die Addition eine größere Anzahl von Resultaten ermöglicht, als ein anderes mathematisches Prinzip, war diese Funktion als Grundlage für eine Additionsmaschine sehr sinnvoll ausgewählt, weil so die größtmögliche Leistungsfähigkeit einer solchen Maschine zu erreichen war. Im Gegensatz dazu kann die Analytische Maschine gleicht gut entweder addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren und sie führt jede dieser vier Operationen in direkter Weise aus, ohne die Mithilfe einer der anderen drei. Diese Tatsache beinhaltet alles und es ist kaum nötig zum Beispiel darauf hinzuweisen, dass die Differenzmaschine lediglich tabellieren kann und nicht in der Lage ist zu entwickeln, währen die Analytische Maschine sowohl tabellieren als auch entwickeln kann.

Die erstgenannte Maschine ist von ihrer Art her eine strikt arithmetische und die Ergebnisse, die sie erreichen kann, liegen in einem klar definierten und begrenzten Bereich, während es für die Analytische Maschine keinerlei ihre Leistungen begrenzende, endgültige Demarkationslinie gibt. Die Leistungen sind gleich auf mit unserem Wissen über die Gesetze der Analysis selbst und daher nur begrenzt durch unsere Vertrautheit mit letzterer. Wir können die Maschine tatsächlich als materiellen und mechanischen Repräsentanten der Analysis ansehen und sehen, dass die Leistungsfähigkeit des menschlichen Studiums in diesem Bereich in viel effektiverer Weise als je zuvor mit unserem theoretischen Wissen über die Prinzipien und Gesetze Schritt halten kann, weil die Maschine uns die vollständige Kontrolle über die auszuführenden Manipulationen an algebraischen und numerischen Symbolen gibt.

Derjenige unter Ihnen, der in der Wissenschaft der Mathematik nicht nur eine Verkörperung abstrakter und unveränderlicher Wahrheiten sieht, deren innere Schönheit, Symmetrie und logische Vollständigkeit, miteinander zu einem Ganzen verbunden, sie zu einem bevorzugten Ort für die Interessen eines jeden tiefgründigen und logisch denkenden Geistes machen, sondern sich auch daran erinnert, sie als den Sprecher einer für die menschliche Rasse noch vorrangigeren Sprache, durch welche wir allein in der Lage sind, die großartigen Fakten der natürlichen Welt angemessen auszudrücken, sowie die unaufhörlichen Veränderungen der in den uns umgebenden Erscheinungen konstant stattfindenden, sichtbaren wie unsichtbaren, bewussten wie unbewussten, wechselseitigen Beziehungen: wer also die mathematische Wahrheit als das Instrument ansieht, durch das der schwache menschliche Geist in effektivster Weise die Schöpfung verstehen kann, der wir mit speziellem Interesse all die Dinge verfolgen, die eine Übersetzung ihrer Prinzipien in eine konkrete, praktische Form zu ermöglichen den Anschein haben.

Die abweichende Charakteristik der Analytischen Maschine, wie auch diejenige, die es zunächst erlaubte, solch weitgehende Möglichkeiten wie die Mechanismen für gerechtfertigte Entscheidungen in ihr zu verwirklichen und sie so zur ausführenden rechten Hand der abstrakten Algebra zu machen, ist die Einführung desselben Prinzips, das Jacquard für die durch Lochkarten ermöglichte Steuerung in der Herstellung von Brokat-Stoffen mit höchst komplizierten Mustern entwickelte. Hierin liegt der Unterschied zwischen den beiden Maschinen. In der Differenzmaschine existiert nichts vergleichbares. Wir könnten treffend schreiben, dass die Analytische Maschine algebraische Muster webt, so wie der Jacquard-Webstuhl Blumen und Blätter webt. Hierin scheint uns wesentlich mehr Originalität zu liegen, als der Differenzmaschine gerechter Weise zugeschrieben werden kann. Wir möchten letzterer nicht jegliche Originalität absprechen. Wir glauben, dass sie den einzigen Vorschlag oder Versuch darstellt, eine rechnende Maschine zu konstruieren, die auf dem Prinzip der aufeinander folgenden Differenzen beruht und die in der Lage ist, ihre eigenen Ergebnisse auszudrucken. Wir glauben, dass diese Maschine ihre Vorgänger sowohl im Umfang der mit ihr möglichen Berechnungen weit hinter sich lässt, als auch in der Leichtigkeit, Sicherheit und Genauigkeit, mit der sie diese Berechnungen ausführt, ohne während der Ausführung der Berechnungen den Eingriff durch einen intelligenten Menschen zu erfordern. Ihre Aufgabe ist aber strengt begrenzt auf die Arithmetik und weit davon entfernt, das erste oder einzige Schema zur Konstruktion von arithmetischen Rechenmaschinen, mit mehr oder weniger Erfolg, zu sein.

Die Grenzen der Arithmetik wurden jedoch in dem Moment gesprengt, als die Idee von den Karten Einzug hielt und die Analytische Maschine hat mit den gewöhnlichen „Rechenmaschinen” nicht viel gemein. Sie belegt eine ganz neue Kategorie und die Gedankengänge, die sie anregt, sind von sehr interessanter Natur. Durch die Schaffung eines Mechanismus, der die Kombination allgemeiner Symbole in Folgen unbegrenzter Vielfalt und unendlichen Umfangs erlaubt, wird eine Verbindung zwischen den rein mechanischen Vorgängen und den theoretischen gedanklichen Prozessen des abstraktesten Bereiches der Mathematik geknüpft. Für die zukünftige Nutzung der Analysis wird eine neue, umfangreiche und leistungsfähige Sprache entwickelt, welche es ermöglicht, ihre Wahrheiten so zu handhaben, dass weit schnellere und korrektere praktische Anwendungen für die Lösung von Aufgaben der Menschheit möglich sind, als sie je zuvor möglich waren. So werden also nicht nur das Geistige und das Materielle, sondern auch das Theoretische und das Praktische aus der Welt der Mathematik in eine intime und effektive Verbindung miteinander gebracht. Uns ist keine Veröffentlichung eines zuvor ausgearbeiteten, oder auch nur gedachten, vergleichbaren Vorschlages bekannt, der wie die Einzelheiten der Analytischen Maschine in so trefflicher Weise geeignet wäre, die Idee einer denkenden oder beweisführenden Maschine in die Praxis umzusetzen.

Wir wenden uns nun einem weiteren Punkt zu, der ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal in den Betriebsarten der Differenzmaschine und der Analytischen Maschine ausmacht. Damit erstere ihre Aufgaben erledigen kann, ist es nötig, in ihren Spalten eine Folge von Differenzen der ersten Zahlen einzutragen, die eine jeweils zu untersuchende Tabelle ausmachen. Die Maschine arbeitet dann mit diesen Zahlen als Daten, doch müssen diese Daten selbst zuvor bereits durch eine Reihe von Berechnungen im Kopf eines Menschen ermittelt worden sein. Daher kann diese Maschine nur solche Resultate liefern, die von Daten abhängen, welche andersartig sind und die aus Vorgängen außerhalb des Bereiches ihrer Fähigkeiten herrühren. Es muss, mit anderen Worten, zuvor eine untersuchender Vorgang von einem menschlichen Verstand durchlaufen worden sein um die Daten zu erhalten, auf Grund derer die Maschine dann ihre Resultate synthetisiert. Die Differenzmaschine ist von ihrem Charakter her ausschließlich synthetisierend, während die Analytische Maschine in gleicher Weise zur Analyse, wie auch zur Synthese fähig ist.

Es ist wohl wahr, dass die Differenzmaschine in einem wesentlich größeren Umfang Resultate aus wenigen vorgegebenen errechnen kann, als diese Daten Berechnungen für ihre Ermittlung benötigten. Die Tabelle der Quadratzahlen kann beispielsweise in jedem beliebigen Umfang berechnet werden, wenn nur die Zahlen Eins und Zwei eingestellt sind. Auch würden einige, wenige für irgendeinen Teil der Logarithmentabelle berechnete Differenzen der Maschine genügen, um daraus viele hunderte oder gar tausende von Logarithmen zu berechnen. Und doch macht der Umstand, dass sie nur nachdem jegliche gewählte Funktion zuvor immer numerisch berechnet wurde, sie in ihrer Art und in ihren Vorteilen zweitklassig im Vergleich mit einer Maschine, die, wie die Analytische Maschine, es lediglich erfordert, dass wir die Abfolge und die Verteilung der auszuführenden Operationen kennen, ohne dass wir einen speziellen Fall für genau diese oder auch irgendwelche Operationen zunächst durchgehen müssten, bloß um die Daten zu erhalten, die sie als Voraussetzung benötigen würde. Es müssen natürlich auch numerische Daten eingegeben werden, aber dies sind frei wählbare Daten, nicht etwa Daten, die nur durch eine systematische Reihe von zuvor notwendigen numerischen Berechnungen zugänglich wären, was eine ganz andere Sache ist.

Hierauf könnte eine Antwort sein, dass sehr wohl ein Analyseprozess durchgeführt werden muss, damit die Analytische Maschine mit den notwendigen Operationsdaten ausgestattet werden kann und dass hierin eine mögliche Fehlerquelle liegt. Wenn wir zugestehen, dass der eigentliche Mechanismus seine Aufgabe fehlerfrei erledigt, könnten dennoch die Karten falsche Anweisungen vorgeben. Das ist fraglos richtig, doch stellt es eine viel kleinere Fehlerquelle dar und ist gleichzeitig mit viel weniger Zeit und Arbeit verbunden, wenn lediglich die Operationen und ihre Abfolge bestimmt werden müssen, als wenn auch die numerischen Ergebnisse zu errechnen sind. Im Fall der Analytischen Maschine müssen wir einerseits einen gewiss großen Aufwand an analytischer Arbeit leisten, können aber andererseits einen wesentlich höhere Ersparnis bei den Ergebnissen erhalten. Wir sollten uns auch daran erinnern, dass die Karten, die so allgemein gültig sind wie die Algebra, wenn sie einmal für irgendeine Formel erstellt wurden eine unendliche Zahl von speziellen Fällen abdecken.

Wir sind detailliert auf die unterschiedlichen Feinheiten dieser beiden Maschinen eingegangen weil wir es für wesentlich halten, dass sich ihre jeweiligen Attribute vor einer Wahrnehmung in der Öffentlichkeit deutlich abzeichnen und wir haben daher die vollständig andere Art der Prinzipien, auf denen jede beruht, klar und akkurat dargelegt um es dem Leser offenbar zu machen (wenigstens dem mathematisch bewanderten), in welcher Art und in welchem Umfang die Leistung der Analytischen Maschine diejenige einer Maschine übersteigt, die, wie die Differenzmaschine, lediglich Resultate als die Ergebnisse einer einzigen, bestimmten und eingeschränktem Folge von Abläufen liefern kann, so wie die der Gleichung . Wir halten dies für wichtig, weil wir wissen, dass in den Köpfen vieler Personen zu diesem Thema häufig nur vage und ungenaue Vorstellungen existieren. Es gibt oft eine nebulöse Erinnerung unter denjenigen, die es überhaupt wahrgenommen haben, dass nacheinander zwei "Rechenmaschinen" von ein und derselben Person in den letzten paar Jahren erfunden wurden, während andere wiederum bisher lediglich von der ursprünglichen "Rechenmaschine" gehört haben und ihnen Erweiterungen nicht bekannt sind. Für jede der beiden Gruppen von Personen sind die zuvor gemachten Überlegungen zutreffend. Während letztere das Faktum der Existenz zweier solcher Maschinen wissen sollten, benötigen erstere nicht weniger akkurate und wohldefinierte Informationen über das Thema. Es existieren bisher keine klaren und korrekten Angaben zu den Charakteristika der Maschinen oder zu ihren jeweiligen Vor- und Nachteilen und durch die mehr oder weniger direkten, zufälligen Berührungen mit diesen Maschinen in vielen Publikationen dieser Tage wird häufig ein Zweifel auftreten, welche "Rechenmaschine" jeweils gemeint war oder ob beide in der Erwähnung enthalten sind.

Wir sind gleichermaßen daran interessiert, zwei Missverständnisse auszuräumen, die bis zu einem gewissen Grade mit diesen Maschinen verbunden sind. Zunächst wird weithin angenommen, dass die Differenzmaschine, nachdem sie bis zu einem gewissen Grade fertiggestellt war, die Idee zur Analytischen Maschine geliefert habe und dass letztere tatsächlich ein Nachkomme ersterer sein und aus der Existenz der Vorgängerin durch einige natürliche oder sonst wie zufällige Gedanken, die von dieser nahe gelegt worden seien, geboren wäre. Diese Annahme ist jedoch ganz genau entgegen der Fakten, obwohl sie eine offensichtliche Folge zu sein scheint, wenn zwei in ihrer Natur und Aufgabe so ähnliche Erfindungen in so einem kurzen Zeitabstand und mit so auffälliger Ausweitung der Anwendbarkeit aufeinander folgen, speziell wenn dasselbe Individuum der Autor beider Maschinen ist. Dennoch ergaben sich die Ideen, die zur Analytischen Maschine führten, in einer von denen, die mit der Differenzmaschine verbunden sind, völlig unabhängigen Weise. Die diesen Ideen sind, von der ihnen innewohnenden Natur her, tatsächlich unabhängig von letztgenannter Maschine und hätten sich ebenso gut ergeben können, ohne deren Existenz und ohne einen einzigen Gedanken an sie.

Das zweite der oben erwähnten Missverständnisse bezieht sich auf die wohl bekannte Verzögerung im Fortschritt der Konstruktion der Differenzmaschine über einige Jahre hinweg. Die Umstände respektierend, welche die eigentliche Fertigstellung beider Erfindungen störten, vertreten wir keine Meinung hierzu und selbst wenn wir es wollten, fehlten uns die dazu nötigen Informationen. Wir wissen jedoch, dass einige Personen annehmen, dass die Hürden (wie auch immer sie aussehen) eine Folge der späteren Erfindung der Analytischen Maschine waren, während die vorherige sich noch in der Entwicklung befand. Wir haben selbst manche darüber Lamentieren hören, ob überhaupt eine Idee darin liege, lediglich etwas zu verfolgen, was im Rahmen einer erfolgreichen Ausführung bereits umgesetzt wäre, ohne die Stelle der überlegenen Erfindung einzunehmen. Diese Auffassung können wir nur widersprechen, da sie unqualifiziert ist. Die Fortschritte bei der Differenzmaschine waren schon lange vor dem ersten Aufblitzen von Ideen zu jeglicher ihr überlegenen Erfindung ausgesetzt. Solche Geistesblitze und deren Weiterentwicklung waren in keiner Weise der eigentliche Grund für dieses Aussetzen, obwohl es bei nachweislich existierenden Schwierigkeiten der einen oder anderen Art wahrscheinlich nicht für problemlösend oder auch nur förderlich anzusehen war, dass während ihres Auftretens eine Erfindung durchdacht wurde, die, während sie alles enthielt, was die vorherige vermochte, eine Alles in den Schatten stellende Leistungsfähigkeit besaß.

Wir überlassen es der Entscheidung jedes Einzelnen (nachdem er über kompetente Informationen zu den Charakteristika beider Maschinen verfügt) festzustellen, inwiefern ein solcher Zugewinn für die Leistungsfähigkeit der menschlichen Wissenschaften ein zu entschuldigender Beitrag sei, selbst wenn er (was wir stark bezweifeln) bis zu einem gewissen Grade zu bereits bestehenden Schwierigkeiten beigetragen hat, die bei der Beendigung einer wertvollen, jedoch geringeren Arbeit auftraten. Wir überlassen es jedem, sich selbst an der Weisheit zu ergötzen, die darin läge, sich eine Vernichtung (wäre sie jetzt noch möglich) aller Rekorde einer perfekteren Erfindung zu wünschen, nur um die vergleichsweise beschränkte Erfindung beenden zu können. Die Differenzmaschine würde zweifellos all die praktischen Aufgaben, auf deren Lösung sie ursprünglich ausgerichtet war, erfüllen. Sie würde sicherlich all die Tabellen berechnen, die in direkter Weise für die praktischen physikalischen Aufgaben des Alltags notwendig sind, wie etwa nautische und andere Berechnungen. Wer zu streng utilitaristischen Ansichten neigt, sieht vielleicht die besonderen Leistungen der Analytischen Maschine sich mehr auf Fragen der abstrakten und spekulativen Wissenschaften auswirken, als auf solche, die alltägliche und gewöhnliche menschliche Interessen abdecken. Da solche Personen wahrscheinlich wenig Sympathie, oder gar Vertrautheit, mit jeglichen Bereichen der Wissenschaften verbindet, die sie nicht für nützlich halten (nach ihrer Definition dieses Wortes), könnten sie nun der Meinung sein, dass die Realisierung dieser Maschine, nachdem die neuere bereits in Entwicklung ist, eine unfruchtbare und unproduktive Verschwendung von noch mehr Geld und Arbeit sei, tatsächlich eine Arbeit von Mehrleistung. Selbst unter utilitaristischen Gesichtspunkten zweifeln wir jedoch nicht daran, dass sehr wertvolle praktische Resultate mit den erweiterten Möglichkeiten der Analytischen Maschine erreicht würden, darunter manche Ergebnisse, auf die wir denken hinweisen zu können, hätten wir nur genügend Platz, sowie andere, die derzeit noch unvorhersehbar sein mögen, die jedoch durch die täglich wachsenden Erfordernisse der Wissenschaft und durch eine intimere praktische Vertrautheit mit den Leistungen der Maschine, wäre sie bereits jetzt verfügbar, befördert würden.

Im Allgemeinen sehen wir in beidem, sowohl in einer a priori Beschreibung, wie auch in einer auf der wissenschaftlichen Geschichte und Erfahrung der Menschheit beruhenden, eine starke Annahme dafür, dass dies der Fall wäre. Dennoch werden wahrscheinlich alle dem Gefühl zustimmen, dass eine Fertigstellung der Differenzmaschine weit mehr zu wünschen wäre, als ein Nicht beenden jeglicher Rechenmaschine überhaupt. Wer oder was auch immer für die Ursachen der Schwierigkeiten, die offenbar entweder bei der Fertigstellung der früheren Maschine oder den Anfängen der neueren bestehen, die Ursache sein mag, wir vertrauen darauf, dass er oder es nicht letztendlich verhindern wird, dass unsere Generation mit diesen Erfindungen wenigstens durch das Medium von Feder, Tinte und Papier eine Vertrautheit erlangt. Und noch mehr hoffen wir, dass zur Ehre des Ansehens unseres Landes auf den Seiten der Geschichtsbücher der Zukunft, diese Ursachen nicht dazu führen, dass eine andere Nation oder Regierung diese Unternehmung abschließt. Dies wäre nicht zu entschuldigen, unabhängig davon, ob die Hürden ihre Ursache in privaten Interessen und Gefühlen haben, im Nachdenken über eine öffentlich zugänglichere Beschreibung oder in Gründen, die in der Natur von beiden dieser Lösungen liegen.

Wir verweisen den Leser für eine sehr treffende Beschreibung der Differenzmaschine auf den "Edinburgh Review" vom Juli 1834. Der Schreiber dieses Artikels hat einen gänzlich anderen Aspekt als Anlass für diese Veröffentlichung hervorgehoben, als L. M. Menabrea ihn gewählt hat. Ersterer behandelt die Maschine hauptsächlich unter ihren mechanischen Gesichtspunkten und geht dabei nur kurz auf die mathematischen Prinzipien ein, die diese Maschine repräsentiert, während er viele Details des Mechanismus und der Vorrichtungen, mit deren Hilfe die Maschine die verschiedenen Grade der Differenzen tabelliert, in deutlicher Länge angibt. L. M. Menabrea entwickelt hingegen ausschließlich die analytische Sichtweise und setzt voraus, dass der Mechanismus bestimmte Prozesse ausführen kann, ohne den Versuch zu machen, wie sie funktionieren. Vielmehr leitet er die ganze Aufmerksamkeit auf Erklärungen und Illustration zu der Art und Weise, in der analytische Gesetze so formuliert und kombiniert werden können, dass jeder Zweig dieses weiten Bereichs in die Reichweite der angenommenen Leistungsfähigkeit des Mechanismus rückt. Es ist offensichtlich, dass beide Zweige dieser Aufgabe für die Erfindung einer Rechenmaschine gleich wichtig sind und dass jeglicher Fortschritt auf ihren gegenseitigen Abwägung beruhen muss. Sie müssen sich so treffen, dass die Schwachpunkte in der Leistungsfähigkeit in dem einen Bereiches durch starke Punkte im anderen Bereich ausgeglichen werden können. Sie sind untrennbar verbunden, obwohl sie von ihrer inneren Struktur her so unterschiedlich sind, dass ein einziger Verstand wahrscheinlich nicht gleich fundiert oder erfolgreich bei beiden sein kann. Wir kennen die, die bezweifeln, dass die Leistungsfähigkeit des Mechanismus in der Praxis allen an ihn gestellten Anforderungen bei der Bearbeitung solch komplizierter mechanischer Abläufe, wie sie bei beiden Maschinen auftreten, sich als ausreichend erweisen wird und die erwarten, dass unvorhersehbare praktische Schwierigkeiten und Verwirrungen auf dem Weg hin zur Korrektheit und Einsetzbarkeit der Maschinen auftreten werden. Die Differenzmaschine scheint uns jedoch eine großartige Antwort auf diese Zweifel zu sein. Sie ist so komplett, wie sie sein kann und erledigt all ihre Aufgaben mit dem vorhersehbaren Erfolg. Die Analytische Maschine ist hingegen nicht nur nicht wesentlich komplizierter, sondern in vielen Bereichen einfacher zu konstruieren und es ergibt sich mit ihr der bemerkenswerte Umstand, dass sie mit ihren viel einfacheren Voraussetzungen eine so viel größere Leistungsfähigkeit liefert.

Der Artikel im "Edinburgh Review" wurde einige Zeit vor dem Auftreten jeglicher Ideen geschrieben, die später zur Erfindung der Analytischen Maschine führten und in den Eigenschaften der Differenzmaschine liegt viel weniger ein Grund, der einen Autoren dazu einladen würde, sich mit ihr exklusiv, oder auch nur vorwiegend, unter mathematischen Gesichtspunkten zu befassen, als dies bei der der Analytischen Maschine der Fall ist, obwohl dieser Mechanismus zweifellos eine viel größere Annäherung an die Mathematik erreicht, als jener der vorgenannten. Eine Veröffentlichung mit einer Beschreibung der mechanischen Aspekte der Analytischen Maschine ist wünschenswert und wird, wie wir hoffen, sehr bald zur Verfügung stehen.

Wer vielleicht die Geduld aufbringt, eine erträgliche Menge von einigermaßen trockenen Details zu studieren, wird nach dem Lesen des Artikels von 1834 eine angemessene Entschädigung durch die Klarheit und die konsequente Sichtweise erhalten, mit der die verschiedenen praktischen Schritte beschrieben werden, durch die der Mechanismus bestimmte Prozesse ausführt und er wird L. M. Menabreas ausführlichere und weitreichendere Denkschrift noch mehr als zuvor zu würdigen wissen. Gerade die Unterschiede im Stil und Themenbereich dieser beiden Artikel machen den einen zu einer wertvollen Ergänzung des jeweils anderen, wenigstens für diejenigen unter Ihnen, die tatsächlich etwas mehr als nur eine übersichtliche und populäre Beschreibung des Themas Rechenmaschinen lesen wollen.

A.A.L.

Die Abteilung der Analytischen Maschine, die hier angesprochen ist, trägt den Namen Speicherhaus. Sie enthält eine nicht festgelegte Anzahl von Spalten mit Scheiben, wie sie L. M. Menabrea beschrieben hat. Wenn der Leser sich ein Bild vorstellt, in dem rechteckige Zählermarkierungen bis zu einer gewissen Höhe aufgestapelt sind, wobei jeder Zähler die Ziffern von 0 bis 9 in gleichen Abständen auf seinem Rand trägt und wenn er weiterhin annimmt, dass diese Zähler nicht so einer auf dem anderen liegen, dass sie miteinander in Kontakt stehen, sondern dass sie mit geringem vertikalen Abstand voneinander auf einer gemeinsamen Achse befestigt sind, die vertikal durch ihre Mittelpunkte geht und um die sich jede Scheibe horizontal drehen kann, so dass jede benötigte Ziffer aus dem Bestand, der auf dem Rand aufgebracht ist, zur Anzeige gebracht werden kann, dann hat er eine gute Vorstellung von einer dieser Spalten. Die unterste der Scheiben einer jeden Spalte beschreibt die Einheiten, die nächste darüber die Zehner, die nächste darüber die Hunderter und so weiter. Wenn wir also die Zahl 1345 in eine Spalte der Maschine eintragen wollen, würde sie so dargestellt:—

In der Differenzmaschine gibt es sieben solcher Spalten, die in einer Reihe nebeneinander angebracht sind und der Arbeitsmechanismus liegt hinter ihnen: das Gesamtbild der Maschinerie ist das eines quadratischen Prisma (das sich mehr oder weniger einem Würfel annähert), wobei die Ergebnisse stets auf der Seitenfläche der Maschine erscheinen, die jene Spalten mit den Scheiben enthält und der gegenüber sich ein Beobachter aufstellen kann. Die Analytische Maschine hätte wesentlich mehr Spalten, vielleicht wenigstens Hundert. Die präzise Form und Anordnung der ganzen Mechanerie der Analytischen Maschine ist noch nicht endgültig festgelegt.

Die Spalten mit den Scheiben ließen sich auf Papier in folgender Weise bequem darstellen:—

Die Vs dienen der bequemen Referenz für eine beliebige Spalte, sowohl schriftlich, als auch mündlich und sie sind fortlaufend nummeriert. Der Grund, weshalb dem Buchstaben V der Vorzug vor jedem anderen Buchstaben gegeben wurde, liegt darin, dass diese Spalten (wie der Leser beim weiteren Studium dieser Denkschrift herausfinden wird) als Variablen bezeichnet werden, manchmal auch als Variablenspalten oder als Spalten von Variablen. Die Herkunft dieser Bezeichnung ist, dass die Werte dieser Spalten sich verändern, also in jeder vorstellbaren Weise variieren. Es ist jedoch notwendig, das sich aufdrängende Missverständnis zu verhindern, dass diese Spalten ausschließlich die Werte der Variablen einer analytischen Formel enthielten und nicht ebenso die der Konstanten. Die Spalten werden aus einem Grund Variablen genannt, der gänzlich unabhängig von der analytischen Unterscheidung zwischen Konstanten und Variablen ist. Um mögliche Verwirrungen zu vermeiden, haben wir sowohl in der Übersetzung, als auch in den Notizen, Variable mit einem großen V geschrieben, wenn das Wort eine Spalte der Maschine bezeichnet, jedoch mit einem kleinen V, wenn wir eine Variable einer Formel meinen. Dementsprechend meint Variablenkarten jegliche Karten, die zu einer Spalte der Maschine gehören.

Um zur Erklärung des Diagramms zurückzukehren: jeder Kreis im oberen Teil ist dafür gedacht, das algebraische Zeichen + oder - zu enthalten, die eingesetzt werden können, je nachdem, ob die in der Spalte darunter dargestellte Zahl positiv oder negativ ist. In ähnlicher weise können andere rein symbolische Ergebnisse von algebraischen Prozessen in diesen Kreisen erscheinen. In Notiz A wurde die Nützlichkeit der wie numerische Ergebnisse eben so einfachen symbolischen Entwicklung von Ergebnissen angerissen. Die Nullen neben den symbolischen Kreisen bezeichnen jeweils eine Scheibe, die eine Ziffer 0 an der Vorderseite darstellen soll. Nur vier Stellen von Nullen sind im Diagramm dargestellt, jedoch können diese als Repräsentanten für dreißig oder vierzig, oder jede beliebige Anzahl von Scheiben, die benötigt wird, angesehen werden. Da jede Scheibe jede Ziffer darstellen kann und jeder Kreis jedes Vorzeichen, können die Scheiben jeder Spalte so eingestellt werden, dass sie jede beliebige positive oder negative Zahl im Bereich der Grenzen der Maschine darstellen können, deren Grenzen von den frontseitigen Ausmaßen der Maschine abhängen, also von der Anzahl der Scheiben einer Spalte.

Jedes der Quadrate unter den Nullen ist gedacht für die Eintragung eines beliebigen Symbols oder einer Kombination von Symbolen, wobei die in der Spalte darüber stehende Zahl den numerische Wert des Symbols oder der Symbolkombination darstellen soll. Lassen Sie uns zum Beispiel die drei Größen a, n und x darstellen und lassen Sie uns weiterhin annehmen, dass a = 5, n = 7 und x = 98 ist. Dann haben wir:—

Wir können diese Symbole nun in verschiedenartigster Weise kombinieren, also etwa eine beliebige Funktion oder mehrere Funktionen mit ihnen bilden und wir können jede dieser Funktionen in Klammern aufschreiben, wobei jede Klammer die Größen (und nur diese Größen) zusammenfasst, die in die unter ihr eingeschriebene Funktion eingehen. Wir müssen ihr weiterhin eine weitere Spalte rechter Hand zuordnen, wenn wir uns für eine bestimmte Funktion entschieden haben, deren numerischen Wert wir berechnen wollen und wir müssen die Funktion in das Quadrat unter dieser Spalte eintragen. Mit den obigen Vorgaben könnten wir jede der folgenden Funktionen wählen:—

Lassen Sie uns die erste auswählen. Sie würde, vor der Berechnung, wie folgt dargestellt:—

Nachdem die Daten vorgegeben sind, müssen wir nun in die Maschine die Karten eingeben, die die Operationen für diese spezielle ausgewählte Funktion anweisen. Im konkreten Fall wären diese Operationen:—

Zunächst, um xⁿ zu erhalten, sechs Multiplikationen (=98⁷ für die oben angegebenen konkreten Daten).

Zweitens eine Multiplikation, um a·xⁿ zu erhalten (=5·98⁷).

Insgesamt sieben Multiplikationen für den ganzen Vorgang. Wir können sie so repräsentieren:—

Die Multiplikationen würden aber in aufeinander folgenden Stufen während der Lösung des Problems mit Zahlen aus verschiedenen Spalten operieren. Anders gesagt würde dieselbe Operation mit verschiedenen Operatoren ausgeführt. Dies ist ein weiteres Beispiel für die Anmerkungen über die unabhängige Art und Weise, in der die Maschine ihre Operationen ausführt, die in der vorherigen Notiz erläutert wurde. Wenn der Wert von axⁿ ermittelt wird, sind die Operationen homogen, jedoch in den aufeinander folgenden Stufen der Berechnung verteilt über verschiedene Operatoren. Durch bestimmte Lochkarten, die zu den Variablen selbst gehören, wird die Ausführung der Operationen so verteilt, dass sie zur jeweiligen Funktion passen. Die Operationskarten bestimmen lediglich die Abfolge von Operationen im Allgemeinen. Sie führen tatsächlich dazu, dass ein Teil des Mechanismus, der in der Mühle vorhanden ist, in eine Folge von unterschiedlichen Zuständen gebracht wird, die wir jeweils als den Additionszustand, den Multiplikationszustand &c bezeichnen können. In jedem dieser Zustände ist der Mechanismus in der Lage, in der für diesen Zustand typischen Art mit einem beliebigen Paar von Zahlen, die ihm zugänglich gemacht werden können, zu arbeiten. Die Mühle kann nur jeweils einen dieser Operationszustände zu einer Zeit annehmen und die Bauweise des Mechanismus ist so, dass auch nur ein Paar von Zahlen zu einem Zeitpunkt empfangen und bearbeitet werden kann. Um also sicherzustellen, dass die Mühle eine konstante Abfolge von korrekten Zahlenpaaren erhält und dass sie auch das Ergebnis der mit eine beliebigen Paar ausgeführten Operation richtig einträgt, hat jede Variable ihre eigenen, zu ihr gehörenden Karten. Es gibt erstens eine Sorte von Karten, deren Aufgabe darin besteht, die Übertragung des Zahlenwerts einer Variablen in die Mühle zu gestatten. Diese Karten können als die Einlieferungskarten bezeichnet werden. Sie statten die Mühle mit der notwendigen Nahrung aus. Jede Variable hat zweitens eine weitere Sorte von Karten, deren Wirkung darin besteht, dass die Variable eine Zahl von der Mühle empfängt. Diese Karten können als die Empfangskarten bezeichnet werden. Diese Karten Bestimmen die Plätze sowohl der temporären, wie auch der endgültigen Ergebnisse. Es scheint uns, dass die Variablenkarten (beider vorgenannten Sorten) allgemein noch besser als Distributionskarten bezeichnet werden könnten, da mit ihrer Hilfe die Ausführung der Operationen und die Ergebnisse dieser Operationen korrekt verteilt werden.

Es gibt zwei Arten der zugehörigen Variablenkarten, beziehungsweise sind sie für die Erfüllung zweier untergeordneter Aufgaben angepasst. Da diese Modifikationen jedoch nicht zum gegenwärtigen Thema gehören, werden wir an anderer Stelle darauf eingehen.

Im obigen Fall von axⁿ bestimmen die Operationskarten lediglich sieben Multiplikationen, das heisst, sie sorgen dafür, dass die Mühle aufeinander folgend sieben Mal im Multiplikationszustand sein soll (ohne dabei je eine Referenz derjenigen Spalten zu enthalten, mit deren Zahlenwerten operiert werden soll). Die passend verteilenden Variablenkarten wechseln in jeder der aufeinander folgenden Multiplikationen und bestimmen die Distributionsbedingungen für den jeweiligen Fall.

Die Maschine könnte all diese Ergebnisse nacheinander berechnen. Nachdem axⁿ erledigt wäre, könnte die Funktion x^an anstatt axⁿ unter die Klammern geschrieben und die neue Berechnung gestartet werden (wobei natürlich die angemessenen Operations- und Variablenkarten für die neue Funktion ins Spiel kämen). Die Ergebnisse erschienen in der Spalte V₅. Entsprechendes gelte für jede Funktion der Größen a, n und x. Jedes Ergebnis könnte entweder während der weiteren Berechnungen dauernd in seiner Spalte bleiben, so dass nachdem alle die Funktionen berechnet wurden, ihre Werte gleichzeitig in den Spalten V₄, V₅, V₆, &c. stünden, oder es könnte jedes Ergebnis (nachdem es ausgedruckt wäre oder in einer bestimmten Art genutzt wurde) kopiert werden, um Platz für seinen Nachfolger zu machen. Das Quadrat unterhalb der Spalte V₄ müsste für den letztgenannten Weg nacheinander die Funktionen axⁿ, x^an, anx, &c. enthalten.

Lassen Sie uns nun annehmen, wir hätten zwei Ausdrücke, deren Werte von der Maschine unabhängig voneinander berechnet worden wären (jeder mit seiner eigenen Gruppe von Spalten für die Daten und Ergebnisse). Nehmen wir axⁿ und bpy. Sie würden dann wie folgt in den Spalten stehen:—

Wir könnten nun jegliche Kombination dieser zwei Ergebnisse wünschen, wobei es nur nötig wäre, eine oder mehrere weitere Karten zu haben, die die notwendigen Anweisungen für die Operationen mit den zwei Ergebnisspalten V₄ und V₈ geben und das Ergebnis dieser weiteren Operationen in einer neuen Spalte eintragen, etwa in V₉. So wollen wir etwa axⁿ durch bpy dividieren. Der numerische Wert dieser Division würde dann in der Spalte V₉ erscheinen, unterhalb der wir eingetragen haben. Die komplette Serie von Operation, von Beginn an, wäre dann wie folgt (für n gleich 7):

Dieses Beispiel ist lediglich angeführt um zu zeigen, dass wir, wenn wir das möchten, beliebige Zwischenergebnisse (wie axⁿ und bpy), die während der Abläufe erscheinen, die ein größeres und komplizierteres Ergebnis (wie ) als letztes Ziel haben, auch separat und dauerhaft beibehalten können.

Jede Gruppe von Spalten kann als Darstellung einer allgemeinen Funktion betrachtet werden, die so lange allgemein bleibt, bis eine spezielle implizit dadurch festgelegt wurde, dass weitere Operations- und Variablenkarten für eine bestimmte Funktion in die Maschine eingebracht wurden. Im vorhergehenden Beispiel würden also V₁, V₂, V₃, V₅, V₆ und V₇ die allgemeine Funktion (a, n, b, p, x, y) bestimmen, bis man sich für die Funktion entschieden hat und dies implizit ausdrückt, indem man passende Karten in die Maschine einlegt. Die eigentliche Arbeit des Mechanismus, wie er von diesen Karten reguliert wird, entwickelt dann explizit diesen Funktionswert. Das Notieren einer Funktion unterhalb der Klammern und im Quadrat unter der Ergebnisspalte beeinflusst in keiner Weise die Abläufe oder Ergebnisse und dient lediglich als eine Gedächtnisstütze für den Beobachter, damit er sich erinnert, was gerade geschieht. Die Operations- und die Variablenkarten bestimmen in der Realität allein die Funktion. Man sollte tatsächlich ganz für sich betrachten, dass die Beschreibungen in jeglichem Quadrat ganz unabhängig vom Mechanismus und den Abläufen in der Maschine sind und nichts weiter als dort platzierte, frei wählbare Gedächtnishilfen zur Unterstützung des Bedieners darstellen.

Je länger wir die Art weiter betrachten, in der die Maschine ihre Abläufe durchführt und ihre Ergebnisse erhält, um so mehr werden wir erkennen, welch bezeichnende Licht sie in richtiger und angemessener Weise auf die gegenseitigen Beziehungen und Verbindungen der verschiedenen Schritte der mathematischen Analysis wirft, wie klar sie die Dinge trennt, die auch in der Realität unterschiedlich und unabhängig voneinander sind und wie sehr sie die Dinge vereint, die voneinander abhängig sind.

A.A.L.

Diejenigen Leser, die weitere Prinzipien des Jacquard-Webstuhls in der effizientesten Weise und nicht bloß durch praktische Beobachtung studieren möchten, müssen lediglich die Adelaide-Galerie oder das Polytechnische Institut besuchen. In jeder dieser wertvollen Sammlungen von wissenschaftlichen Illustrationen arbeitet auch immer ein Weber an einem Jacquard-Webstuhl und ist dazu bereit, alle gewünschten Informationen über die Konstruktion und die Betriebsarten seines Apparats zu geben. Der Band über die Herstellung von Seide in Lardner's Cyclopædia enthält ein Kapitel über den Jacquard-Webstuhl, das ebenfalls hilfreiche Hinweise geben kann.

Die Anwendungsmethode der Karten, wie sie bis dato bei der Webkunst eingesetzt sind, wurde jedoch für nicht ausreichend leistungsfähig gehalten, um all die Vereinfachungen in den vielfältigen und komplizierten Prozessen zu erbringen, deren Erreichung wünschenswert ist, um die Aufgaben der Analytischen Maschine zu erfüllen. Es wurde eine Methode entwickelt, die technisch als Ablage für Karten in bestimmten Gruppen und nach bestimmten Regeln bezeichnet wird. Die Aufgabe dieser Erweiterung ist es zu gewährleisten, dass jede einzelne Karte, oder jedes Set von Karten, beliebig oft hintereinander zur Lösung eines Problems wiederverwendet werden kann. Ob diese Möglichkeit genutzt wird, oder nicht, hängt in jedem Einzelfall von der Natur der Operationen ab, die das zur Bearbeitung stehende Problem erfordern mag. Dieser Vorgang wird von L. M. Menabrea erwähnt und stellt eine sehr wichtige Vereinfachung dar. Es wurde vorgeschlagen, die Wiederverwendung in solchen Fällen einzusetzen, die, während sie selbst keine offensichtliche Verbindung mit dem Bereich der abstrakten Wissenschaften haben, sich für diese jedoch als sehr wertvoll erwiesen haben, weil sie mit neuen und einzigartigen Anwendungsfeldern Prinzipien für mögliche algebraische Kombinationen nahe legen, welche genauso in den Möglichkeiten des Mechanismus enthalten sind, wie all die verschiedenen Feinheiten, die bei sich überschneidende Fäden auftreten können. Durch die Einführung des Ablage-Systems in den Jacquard-Webstuhl selbst könnten Muster, die eine Symmetrie enthalten müssten und gleichförmigen Regeln beliebiger Länge unter lägen, mit vergleichsweise wenigen Karten gewoben werden.

Wer den Mechanismus dieses Webstuhls verstanden hat wird einsehen, dass obige Verbesserung in der Praxis leicht dadurch zu erreichen ist, dass das Prisma, über welches der Zug von Musterkarten hinweg läuft, darauf umgestellt wird, sich rückwärts statt vorwärts zu drehen, je nach Belieben und unter den vorausgesetzten Umständen, bis dabei eine bestimmte Karte oder Gruppe von Karten, die ihre Aufgabe schon einmal erfüllt hatte und in der normalen, regulären Abfolge bereits vorüber gegangen war, auf die Position zurückgebracht wird, die sie direkt vor ihrer vorherigen Nutzung innehatte. Das Prisma stellt danach seine Vorwärts-Rotation wieder ein und bringt so die fragliche Karte, oder die Gruppe von Karten, zum zweiten Mal ins Spiel. Dieser Prozess kann offensichtlich beliebig oft wiederholt werden.

A.A.L.

Wir haben die Lösungen dieser beiden Gleichungen weiter unten in allen Details in einem Diagramm dargestellt, das jenen in Notiz B gleicht, jedoch ist eine weitergehende Erklärung notwendig, zum einen Teil deshalb, um diesen komplizierteren Fall ganz klar zu machen und zum anderen Teil, um das Verständnis bestimmter Indikationen und Notationen zu ermöglichen, die in den vorherigen Diagrammen nicht vor kamen. Speziell denjenigen unter Ihnen, welche die Notiz G vollständig verstehen wollen, sei geraten, besonderes Augenmerk auf den Inhalt der aktuellen Notiz zu legen, oder sie werden den entsprechenden Notationen und Indikationen in einem wesentlich komplizierteren Fall nicht folgen können.

In allen Berechnungen können die Spalten der Variablen in drei Klassen eingeteilt werden:—

  1. Spalten, in die Daten eingetragen werden sollen
  2. Spalten, die die Endergebnisse empfangen sollen
  3. Spalten, die dazu gedacht sind, solche Zwischenergebnisse und Kombinationen von einfachen Daten zu enthalten, die nicht permanent erhalten bleiben sollen, sondern lediglich dazu notwendig sind, um mit ihnen auf dem Weg zu den Endergebnissen weiter arbeiten zu können. Kombinationen von Daten dieser Art könnte man treffend als Sekundärdaten bezeichnen. Es gibt tatsächlich sehr viele aufeinander folgende Stufen bis hin zum endgültigen Ergebnis. Die Spalten, die diese Sekundärdaten empfangen, sind treffend als Arbeitsvariablen bezeichnet, weil ihre Aufgabe ihrer Natur nach ganz untergeordnet unter andere Aufgaben ist. Sie liefern eine vorübergehende und vergängliche Klasse von Ergebnissen, welche die Originaldaten mit den Endergebnissen verbindet.

Die Ergebnisvariablen nehmen manchmal die Gestalt von Arbeitsvariablen an. Es passiert häufiger, dass eine Variable, die ein Endergebnis enthalten soll, während des Ablaufs des Prozesses der Empfänger für ein oder mehrere aufeinander folgende Zwischenergebnisse wird. Entsprechend werden die Variablen für Daten oftmals Arbeitsvariablen oder Ergebnisvariablen, oder gar beides nacheinander. In den aktuellen Gleichungen sind jedoch zufällig die Bereiche dieser drei Gruppen über den gesamten Ablauf hin perfekt voneinander getrennt und unabhängig voneinander.

Man wird später sehen können, dass in den Quadraten unterhalb der Arbeits-Variablen nichts eingetragen ist. Jede dieser Variablen ist in vielen Fällen dafür vorgesehen, während des Ablaufs einer Berechnung verschiedene Werte nacheinander durch zu leiten (obwohl dieser Fall in den hier beschriebenen Gleichungen nicht vorkommt). Es gibt daher konsequenterweise auch nicht nur ein einziges festgelegtes Symbol und keine Kombination von Symbolen, die als lediglich zu einer Arbeits-Variablen zugehörig verstanden werden sollten und als eine allgemeine Regel sind die Quadrate dieser Variablen leer gelassen. Natürlich ist dies so zu verstehen, wie in allen anderen Fällen, in denen eine generelle Regel erwähnt wird, dass im Einzelfall auch Ausnahmen von einer solchen Regel auftreten können.

Damit alle Indikatoren, die im Diagramm enthalten sind, vollständig zu verstehen sind, wollen wir zwei oder drei Punkte erklären, die bis dato nicht angerührt wurden. Wenn der Wert irgendeiner Variablen als in Benutzung bezeichnet wird, dann kann dies eine von zwei möglichen Konsequenzen haben. Entweder kehrt der Wert in die Variable zurück, nach sie genutzt wurde, wodurch sie bei Bedarf für einen weitere Verwendung bereit steht, oder die Variable kann auf Null gesetzt werden. (Wir denken dabei natürlich nicht an einen dritten Fall, der häufig auftauchen wird, in dem dieselbe Variable auch dazu bestimmt ist, das Ergebnis genau der Operation zu enthalten, für die sie gerade eine Zahl geliefert hat.) Die Standardregel ist die, dass der Wert einer Variablen zu ihr zurückkehrt, wenn nicht vorhersehbar ist, dass sich kein weiterer Bedarf für diesen Wert ergeben kann, in welchem Fall die Null eingesetzt würde. Am Ende einer Berechnung sollte daher, als allgemeine Regel, jede Spalte eine Null enthalten, mit Ausnahme der Spalten, die Ergebnisse darstellen sollen. Daher wird man im Diagramm sehen können, dass wenn m - der Wert von V₀ - zum zweiten Mal bei Operation 5 genutzt wird, V₀ auf 0 gesetzt wird, das m nicht wieder gebraucht wird und das vergleichbar damit, nachdem (mn' − m'n) in V₁₂ in Operation 11 zum dritten Mal genutzt wurde, V₁₂ Null wird, da (mn' − m'n) nicht wieder benötigt wird. Um den einen oder den anderen der oben erwähnten Wege zu beschreiten, gibt es zwei Arten der Eingabe Variablenkarten. Eine dieser Arten hat die Eigenschaft, den Zahlenwert irgendeiner Variablen zu ihr zurückkehren zu lassen, nachdem er ihre Aufgabe in der Mühle erfüllt hat. Die andere Art hat die Eigenschaft, für die gelieferte Zahl die Null in der Spalte der Variablen einzusetzen. Diese zwei Arten werden, wenn das nötig ist, durch die jeweilige Bezeichnung als Erhaltende und als Null Eingabekarten unterschieden. Wir sehen, dass die vorwiegend Aufgabe (siehe Notiz B) der beiden Arten von Karten dieselbe ist, sie unterscheiden sich nur in ihrer zweitrangigen Aufgabe.

Zu jeder Variable gehören demgemäß eine Klasse von Ausgabe-Variablenkarten und zwei Klassen von von Eingabe-Variablenkarten. Es ist jedoch klar, das von letzteren jeweils nur die eine oder die andere für eine Variable in einer Operation genutzt werden kann, nie beide gleichzeitig, da ihre jeweiligen Funktionen zueinander inkompatibel sind.

Es sollte klar sein, dass die Variablenkarten nicht etwa in direkter Weise bei den Spalten platziert werden. Jede Karte ist durch Drähte mit der Spalte verbunden, auf die sie wirken soll.

Unser Diagramm wäre praktischer neben L. M. Menabreas korrespondierender Tabelle platziert worden, damit die Operationen in beiden Zeile für Zeile miteinander verglichen werden könnten. Jedoch war es unglücklicherweise zu unbequem, sie in dieser zu wünschenden Form auszudrucken. Das Diagramm ist vordergründig lediglich eine andere Art und Weise, die in L. M. Menabreas Tabelle beschriebenen verschiedenartigen Relationen darzustellen. Beide Darstellungen haben jeweils einige Vor- und Nachteile. In Kombination stellen sie eine vollständige und akkurate Methode dar, um jeden Schritt und den Ablauf in allen von der Maschine durchgeführten Berechnungen zu notieren.

Bis jetzt wurde den oberen Indizes keine Beachtung geschenkt, die im Diagramm jedem V links hinzugefügt sind. Wir haben uns die Freiheit genommen, diese Indizes auch zu den Vs in L. M. Menabreas Tabellen 3 und 4 hinzuzufügen, da sie nichts von dem verändern, was er darin darstellt, sondern lediglich etwas zu den vorherigen Indizierungen in diesen Tabellenhinzufügen. Die unteren Indizes, deren Werte während des Ablaufs der Berechnungen unverändert fortbestehen, sind offensichtlich nur Indizes für die Zugehörigkeit und gänzlich unabhängig von den durchgeführten Operationen und den Ergebnissen. Die oberen Indizes jedoch sind von anderer Art. Ihre Aufgabe ist es, jede Veränderung des Wertes einer Variable anzuzeigen und sie tragen natürlich die Verantwortung für Veränderungen während der Berechnung. Immer dann, wenn eine Variable nur mit Nullen belegt ist, wird sie mit ⁰V bezeichnet. In dem Moment, wenn ein Wert in ihr erscheint (sowohl für den Fall, dass dieser Wert dort willkürlich eingetragen wird, wie auch als natürlichen Folge einer Berechnung) wird sie zu ¹V. Wird ein Wert durch einen anderen Wert ersetzt, dann wird die Variable zu ²V und so weiter. Wenn ein vorheriger Wert wieder durch Null ersetzt wird, dann wird die Variable wieder zu ⁰V, auch wenn sie zuvor bereits mit ⁿV bezeichnet war. Wenn danach wiederum ein neuer Wert eingesetzt wird, so wird die Variable nun mit ⁿ⁺¹V bezeichnet (wie es auch geschehen wäre, falls sie nicht zwischenzeitlich ⁰V gewesen wäre) &c. &c. Direkt vor dem Beginn einer Berechnung, nachdem die Daten vorgegeben sind und alles für den Start des Mechanismus eingerichtet und vorbereitet ist, sind die oberen Indizes aller Variablen mit Daten auf Eins gesetzt und die Arbeits- und Ergebnisvariablen sind alle mit Null indiziert. In diesem Zustand präsentiert sie das Diagramm.

Eine Gruppe von Indizes dieser Art hat einige Vorteile, aber diese Vorteile sind wahrscheinlich von der Sorte, die nicht sofort einsichtig sind, falls der Betrachter nicht ein wenig damit vertraut ist, die aufeinander folgenden Schritte zu verfolgen, mit denen die Maschine ihre Aufgaben bearbeitet. Wir haben nur den Platz allgemein darauf hinzuweisen, dass die ganze Notation der Tabellen durch diese Indizes konsistenter wird, weil sie in bestimmten Fällen auf einen Unterschied hinweisen, wo ohne sie eine in der Tendenz verwirrende Identität vorzuliegen schiene. In einem Fall wie V_n=V_p+V_n ergibt sich eine klarere und mit den üblichen Gesetzen der algebraischen Notation konsistentere Darstellung, wenn wir in der Lage sind ^m+1V_n=^qV_p+^mV_n zu schreiben. Es ist ebenso offensichtlich, dass die Indizes eine leistungsfähige Hilfe bei der Zurückverfolgung der Herleitung eines beliebigen Ergebnisses gestatten und ein Wahrnehmen der verschiedensten Umstände, die eine solche Folge von schrittweisen Ersetzungen betreffen, bei denen jedes Ergebnis tatsächlich nur die letzte Konsequenz ist. Solche Umstände könnten in bestimmten Fällen Beziehungen mit einschließen, deren Beobachtung wichtig ist, entweder aus rein analytischen Gründen, oder um bei ihrem Auftreten den Arbeitsvorgang der Maschine passend anzugleichen. Die Abfolgen von Ersetzungen, die zu den Gleichungen des Diagrammes führen, sind wie folgt:—

Fußnote lesen.

Es gibt für jede dieser Gleichungen drei aufeinander folgende Ersetzungen. Die Gleichungen (2.), (3.) und (4.) sind implizit in (1.) enthalten, wobei wir letztere für einen verdichteten Ausdruck jeder der vorherigen ansehen können. Wir werden sehen, dass jede der aufeinander folgenden Ersetzungen doppelt so viele Vs enthalten muss wie ihr Vorgänger. Wenn in einem Problem n Ersetzungen enthalten sind, dann ist die aufeinander folgende Zahl von insgesamt benötigten Vs 2, 4, 8, … 2ⁿ.

Die Ersetzungen in den vorangegangenen Gleichungen sind für die Illustration der Leistungsfähigkeit und Anwendung der oberen Indizes von wenig Wert, da die Indizes in diesem Fall, aufgrund der Natur dieser spezifischen Gleichungen, durchgängig alle mit Eins angegeben sind. Wir wünschten, wir hätten den Raum zur Verfügung, um vollständiger auf solche Relationen einzugehen, die wir in vielen Fällen mit Hilfe dieser Indizes verfolgen könnten.

L. M. Menabrea führt die drei mittleren Spalten seiner Tabelle unter dem allgemeinen Titel Variablenkarten. Die Vs repräsentieren dabei in Wirklichkeit jedoch die Variablenspalten der Maschine und nicht die Karten, die zu diesen gehören. Dennoch ist dieser Titel sehr angemessen, da jede der unter diesem Titel angeführten Relationen durch die spezielle Auswirkung bestimmter Variablenkarten (generell in Kombination mit der Vermittlung durch Operationskarten) bestimmt wird.

Wir nehmen einmal an, dass wir in Erfahrung bringen wollen, wie oft eine bestimmte Größe, oder eine Kombination von Größen, während einer Berechnung in Gebrauch ist. Wir können dies leicht dadurch erfahren, dass wir die vertikale Spalte oder die Spalten des Diagrammes inspizieren, in denen diese Größe auftreten kann. Im aktuellen Fall sehen wir daher, dass all die Daten, wie auch all die Zwischenergebnisse, zwei Mal genutzt werden, mit Ausnahme von (mn' − m'n), welches drei Mal in benötigt wird.

Die Anordnung der Operationen, mit der die Ausführung es aktuellen Beispiels möglich ist, erlaubt es uns alle elf Operationen, aus denen es besteht, mit nur drei Operationskarten zu bewirken, da das Problem von einer Art ist, die es zulässt, dass jede Klasse von Operationen in einer Gruppe zusammen ausgeführt werden können. Alle Multiplikationen, eine nach der anderen, dann alle Subtraktionen, eine nach der anderen, &c