Ein Paradoxon der Planckwelt?

von Jürgen Buchmüller, März 2007

(English)

Die Bezeichnung Planckwelt ist der Name für ein physikalisches Modell. Die Planckwelt basiert auf der Entdeckung des deutschen Physikers Max Planck, der im Jahre 1900 die Quantentheorie begründete. Planck definierte das nach ihm benannte Wirkungsquantum und die Planckwelt beschreibt unter anderem eine kleinste Länge (die Planck-Länge) eine kürzeste Zeit (die Planck-Zeit) und die größte Masse eines Teilchens (die Planck-Masse).
[Alpha Centauri, BR, Prof. Harald Lesch: Was ist die Planckwelt?]

Eingerittenes Pferd mit Zaumzeug: Physik

Die Grenzen dieser Planckwelt scheinen nicht überwindbar. Sie wären vielleicht ansatzweise vergleichbar mit der optischen Auflösungsgrenze eines bestimmten Mikroskops, allerdings sind die Planck-Werte, unterhalb oder oberhalb derer sinnvolle physikalische Betrachtungen nicht mehr möglich sind, absolut. Sie sind in keiner Weise zu verbessern.

Der Wikipedia-Artikel über die Planck-Skala beschreibt die Zusammenhänge zwischen dem planckschen Wirkungsquantum, der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit. Die auf diesen drei Naturkonstanten basierenden Formeln der Planck-Einheiten für Masse, Länge und Zeit beschreiben praktisch die Auflösungsgrenzen der räumlichen und zeitlichen Dimensionen, sowie der Masse. Die Gleichungen für die Planck-Temperatur und die Planck-Ladung führen weitere Naturkonstanten ein, wie die Boltzmann-Konstante und die elektrische Permittivität. Eine ganze Reihe abgeleiteter Größen folgt dann aus diesen neuen Grundgrößen.

Eine sinnvolle Anwendung der Umrechnung des SI-Einheitensystems mit seinen Kilogramm, Metern und Sekunden auf das System der Planck-Einheiten, ist die Vereinfachung des Umgangs mit den Gleichungen der Quantenphysik, der allgemeinen Relativitätstheorie und der Kosmologie. Dort werden einzelne oder auch Kombinationen der drei Grundwerte Wirkungsquantum, Gravitationskonstante oder Lichtgeschwindigkeit gleich 1 gesetzt. Die Vereinigung aller dieser Ansätze in Planck-Einheiten bilden zusammen das natürliche Einheitensystem der Quantengravitation.

Wer Professor Harald Leschs Vortrag an den Rand der Erkenntnis gefolgt ist, der hat vermutlich den kritischen Punkt wahrgenommen, an welchem die Erklärbarkeit des physikalischen Weltbilds endet. Es ist dies der Punkt, an dem die heisenbergsche Ortsunschärfe gerade gleich dem Schwarzschildradius ist, also dem Radius einer Masse, an der sie zu einem schwarzen Loch wird. Diese Planck-Länge beträgt etwa 1,61624 · 10-35m und keine Länge, die kleiner als diese Planck-Länge ist, sei physikalisch relevant, so Lesch. Die Planckwelt beschreibt mit ihren Werten somit den Anfangspunkt des Universums, den nicht-singulären Startpunkt des "Big Bang", der zur Planck-Zeit 5,39121 · 10-44s begann. Die physikalische Erfassbarkeit des Urknalls beginnt also nicht bei Null, sondern bei den Minimal- und Maximalwerten der Planckwelt. Die Suche der Physiker nach einem messbaren Effekt der auf diesen Werten beruhenden Quantengravitation geht einstweilen weiter. Wie Lesch kurz andeutet, waren Physiker beispielsweise bemüht, eine Auswirkung des quantisierten Raumes, also der minimalen Länge, auf die reale Ausbreitung eines Lichtstrahls zu messen, doch bis heute war niemand in der Lage, die Existenz der Quantengravitation auf diese Art nachzuweisen.

Der Gaul aufgezäumt von der anderen Seite: Mathematik

Ein Theologe fuhr jeden Tag zur Arbeit in die Schule ans andere Ende seiner Stadt. Er startete in Punkt A und fuhr um seine Stadt herum; eine Stadt, die aus offenbar sehr quadratischen Häusern und aus sehr geraden Straßen bestand. Er fuhr bis zu Punkt C, bog dort ab und gelangte dann zu seinem Arbeitsplatz in Punkt B. Die Strecke von A nach C betrug 10km, ebenso wie die Strecke von C nach B. Er legte jeweils 20km von und zur Arbeit zurück, 40km insgesamt jeden Tag. Nun wollte er seine Route abkürzen und fuhr, statt außen herum, einen Weg durch die Stadt hindurch. Er schaute am Abend auf seinen Kilometerzähler und war enttäuscht. Er war genau dieselbe Strecke gefahren - 40km. Da er sich die nicht messbare Wegersparnis nicht ohne weiteres erklären konnte, unternahm er noch einen dritten Versuch und bog nun an wirklich jeder Kreuzung in einem Zickzack-Kurs abwechselnd rechts und links ab. Die Länge des Weges blieb konstant. Er fuhr 20km zu seinem Arbeitsplatz hin und 20km zurück. Der Theologe wollte es nun wissen. Er kramte aus dem hintersten Winkel des Kellers die mathematische Formelsammlung seiner Schulzeit hervor und vergewisserte sich, ob er vielleicht verkehrt dachte. Nein, dort stand der Satz des Pythagoras, an den er sich noch erinnerte, und nach diesem galt damals wie heute: a2 + b2 = c2. Schnell stellte er mit einem Taschenrechner fest, dass die Quadratwurzel aus 102 + 102, also aus 200, in etwa 14,14km ergeben müsste. Wieso fuhr er dann also trotzdem immer 20km zur Arbeit hin und 20km zurück? Sicherlich war sein Zickzack-Kurs nicht fein genug, war der kürzesten diagonalen Verbindung, die ein Hubschrauber im Flug von Punkt A nach Punkt B zurücklegen würde, nicht ähnlich genug. Ihm war allerdings nicht klar, wieso seine Fahrstrecke nicht wenigstens ein klein wenig kürzer geworden war. Wenn schon nicht die optimale *tipp* *tipp* *tipp* Verkürzung auf 70,7% der Strecke dabei herauskam, wann würde sich ein messbarer Unterschied einstellen?

Er schilderte sein Problem einem Freund, der Mathematiker war, und fragte diesen, ob denn wohl mit dem Auto eine kürzere Strecke zur Arbeit möglich wäre, falls er nur auf einem "beliebig feinen" Zickzack-Kurs fahren könnte. Der würde sich ja dem diagonalen Flugweg eines Hubschraubers immer mehr annähern und die Länge eines Flugweges wäre ja wohl 14,14km.

Der Freund bemühte sich nun, ihm das Problem zu erklären, in etwa so:

Wir müssen zunächst festlegen, was "beliebig fein" bedeutet und ob es im Gegensatz zu einem beliebig feinen Raster etwa ein davon abweichendes "unendlich feines Raster" gibt.

Wenn man einen "beliebig feinen" Zickzack-Kurs von A nach B fährt, dann ändert man nichts daran, dass man immer noch nur senkrecht aufeinander stehende Teilstücke der Gesamtlänge zurücklegt, wie kurz auch immer die sein mögen. Ob man diese Teilstücke nun zunächst alle in die eine Richtung, danach dann alle in die andere Richtung fährt, oder ob man die Richtung zwischendurch beliebig häufig wechselt, das macht für die Gesamtlänge keinen Unterschied!

Man geht so niemals tatsächlich auf der kürzesten diagonalen Verbindung von A nach B, bei der die Strecke, die wie Du erkannt hast sich aus dem Satz des Pythagoras ergibt, gleich der Quadratwurzel aus den Strecken a² plus b² wäre.

Der Grund, weshalb dein Arbeitsweg nicht kürzer wird, liegt also darin, dass zwar die Graphen einer beliebig feinen Zickzack-Kurve und der Diagonale sich annähern - sogar so weit, dass diese beiden Graphen im Grenzübergang zum Unendlichen gleich sind - allerdings ist der Weg der beiden Graphen nicht der gleiche, denn Du gehst immer einen Umweg mit dieser Zickzack-Kurve. Mathematisch korrekt ausgedrückt konvertieren die Richtungsvektoren der beiden Graphen nicht.

Unserem Theologen schwirrte nun doch ein wenig der Kopf. Die Erklärung hörte sich einerseits so einfach an und war doch so entgegen seiner intuitiven Erwartung. Einen Weg auf einem unendlich feinen Raster von rechtwinkling zueinander stehende Wegstücken zu fahren ist etwas anderes, als sich tatsächlich auf der Diagonalen zu bewegen, selbst wenn beide Wege scheinbar identisch aussehen.

Vorsicht: Fragen.

Loriots berühmter Besucher des Pferderennens würde nun, wenn er wie damals sein Fernglas verkehrt herum gehalten hätte, fragen:
"Wo laufen sie denn? Ja wo laufen sie denn hin?"

Nachdem das Pferd also nun von beiden Seiten aufgezäumt erscheint, möchte ich den Lesern die Diskussion oder gar die Beantwortung der Frage überlassen, wo(hin) das Tier läuft.

• Ist die Annahme einer kleinsten Länge, also der Planck-Länge, mathematisch und physikalisch möglich?
• Wie könnte der Satz des Pythagoras je messtechnisch (also physikalisch) bewiesen worden sein oder werden?
• Verhindert die Annahme einer Planck-Länge gleichzeitig, dass "irgendetwas" - also ein Lichtstrahl als Welle oder als Quant, ein Teilchen, die Materie - sich wie die mathematisch definierten Richtungsvektoren diagonal durch die kleinste mögliche Fläche, oder in den drei Dimensionen durch den kleinsten möglichen Raum, bewegt oder erstreckt?
• Ist die Frage bereits sinnlos, weil physikalische und gleichzeitig auch mathematische Erklärungen hier an ihre Grenzen stoßen?
• Ist die Frage deshalb sinnlos, weil weder Energie als Welle oder Quant, noch Materie als Teilchen sich in der Planckwelt in unserem Sinne "bewegen", also auch nicht entweder diagonal oder alternativ auf einem Zickzack-Kurs?
• Liefert dann vielleicht die Mathematik in diesem Grenzbereich länger (genau genommen: für kürzere Längen) als die Physik verwertbare Aussagen?
• War die Suche der Physiker nach den Auswirkungen der Quantengravitation auf das Licht von der unmöglichen Voraussetzung ausgegangen, dass ein "Zickzack-Kurs des Lichts" in der Größenordnung der Planck-Länge über eine hinreichend lange Strecke messbare Abweichungen zeigen sollte?
• Wenn die Physiker aber eine solche Auswirkung erwarteten, konnten sie dann weiterhin annehmen, den Satz des Pythagoras etwa durch eine Versuchsanordnung unter Verwendung von Materie oder Licht nachweisen zu können?
• Gilt Pythagoras (nicht mehr) in der Planck-Welt?